Ce que vous saurez faire

• Étudier la dérivabilité en un point, à droite et à gauche, et interpréter géométriquement le résultat.
• Écrire l'équation d'une tangente, reconnaître un point anguleux, une tangente verticale.
• Dériver une somme, un produit, un quotient, une composée, une puissance, une racine.
• Dériver une fonction réciproque sans l'expliciter.
• Déduire les variations du signe de \(f'\), les extremums, la concavité du signe de \(f''\).
• Déterminer un centre ou un axe de symétrie de la courbe.
• Déterminer toutes les branches infinies : asymptotes verticale, horizontale, oblique, branches paraboliques.
• Mener une étude complète et tracer la courbe.
• Déterminer les primitives d'une fonction, et celle qui vérifie une condition donnée.

Les grandes idées

Tout part d'une limite. Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) est la limite du taux d'accroissement :

Ce nombre est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(x_0\). Toute la géométrie du chapitre découle de cette identification entre un calcul de limite et une pente.

La dérivée première gouverne les variations : là où \(f' > 0\), la fonction croît. La dérivée seconde gouverne la forme de la courbe : là où \(f'' > 0\), la courbe est convexe et se situe au-dessus de ses tangentes. Là où \(f''\) change de signe, la tangente traverse la courbe : c'est un point d'inflexion.

Le chapitre se termine par l'opération inverse de la dérivation. Une primitive de \(f\) est une fonction \(F\) telle que \(F' = f\). Il en existe une infinité, toutes égales à une constante près, et une seule vérifie une condition imposée en un point.

Prérequis

• Limites en un point et à l'infini, formes indéterminées.
• Continuité, théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 1).
• Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone.
• Racine d'ordre \(n\) et puissances rationnelles.
• Limites trigonométriques usuelles, notamment \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\).

Plan du chapitre

• Partie A — Dérivation : nombre dérivé, tangentes et demi-tangentes, dérivabilité sur un intervalle, dérivées successives, opérations, composée, fonction réciproque, racine d'ordre \(n\) et puissance rationnelle, tableau des dérivées usuelles.
• Partie B — Étude de fonctions : monotonie et signe de \(f'\), extremums, concavité et points d'inflexion, centre et axe de symétrie, branches infinies et asymptotes, branches paraboliques, plan d'étude complet.
• Partie C — Primitives : définition, ensemble des primitives, primitive vérifiant une condition, tableau des primitives usuelles, primitives et opérations.

Le parcours interactif

Le parcours premium contient le cours détaillé avec un exemple pour chaque notion, des exemples guidés rédigés pas à pas, des exercices par niveaux avec correction, et un mode examen.

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Ressources complémentaires et activités interactives adaptées aux notions étudiées sont disponibles dans le parcours.