continuité test
Expérience premium officielle. Leçon interactive avec contenu, outils, mode focus, mode examen, Bac blanc, évaluations liées, quiz généré et assistant IA MathMaroc.
continuité test
Continuité d'une fonction numérique
Équipe MathMaroc
La continuité est la première notion du programme de 2BAC, et celle sur laquelle reposent toutes les suivantes : dérivabilité, étude de fonctions, primitives. Ce chapitre vous apprend à décider si une fonction est continue, puis à exploiter cette continuité pour prouver qu'une équation admet une solution et pour construire des fonctions réciproques.
Ce que vous saurez faire
- Décider si une fonction est continue en un point, à droite, à gauche.
- Justifier la continuité d'une fonction sur un intervalle sans revenir à la définition.
- Déterminer l'image d'un intervalle et l'image d'un segment.
- Prouver qu'une équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution, puis qu'elle en admet une seule.
- Encadrer une solution par dichotomie.
- Construire la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone.
- Calculer avec les racines d'ordre \(n\) et les puissances rationnelles.
Les grandes idées
Une fonction est continue en un point lorsque sa limite en ce point est égale à sa valeur en ce point :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]
Graphiquement, cela signifie que la courbe se trace sans lever le crayon. Cette image est utile mais insuffisante : en 2BAC, la continuité se démontre, elle ne se lit pas. Le chapitre vous donne deux outils pour éviter la définition dans la plupart des cas : les fonctions usuelles sont continues sur leur domaine, et la continuité se transmet par somme, produit, quotient et composition.
La continuité n'est pas seulement une propriété à vérifier : c'est un outil de démonstration. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu'une fonction continue qui change de signe sur un intervalle s'y annule. C'est ce théorème qui permet de prouver l'existence d'une solution à une équation qu'on ne sait pas résoudre.
Prérequis
- Calcul de limites en un point et à l'infini (1BAC).
- Limites à droite et à gauche.
- Sens de variation et monotonie stricte.
- Fonctions usuelles : polynômes, rationnelles, \(\sqrt{x}\), \(\sin\), \(\cos\).
Plan du chapitre
- Partie A — Continuité : continuité en un point, à droite, à gauche, sur un intervalle ; opérations ; fonctions usuelles ; image d'un intervalle et d'un segment.
- Partie B — Théorèmes fondamentaux : théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire ; dichotomie ; fonction réciproque ; racine d'ordre \(n\) ; puissances rationnelles.
Le parcours interactif
Le parcours premium contient le cours détaillé, un exemple pour chaque notion, des exemples guidés rédigés pas à pas, des exercices par niveaux avec correction, et un mode examen.
Voir le parcours interactif Être accompagné par un professeur
Ressources complémentaires et activités interactives adaptées aux notions étudiées sont disponibles dans le parcours.