Équations du premier degré à une inconnue

Équations du premier degré à une inconnue

Dans ce parcours, tu apprendras à reconnaître et à résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

Objectifs

• Identifier une équation de la forme \(ax+b=0\).
• Transformer une équation en conservant l’égalité.
• Déterminer puis vérifier sa solution.
• Résoudre un problème simple conduisant à une équation.

Déroulement

1. Comprendre la méthode.
2. Étudier des exemples guidés.
3. S’entraîner avec des exercices progressifs.
4. Terminer par une courte évaluation.

Prérequis : calcul numérique, nombres relatifs et distributivité simple.

Équation du premier degré à une inconnue

1. Définition

Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, généralement noté \(x\).

Une équation du premier degré peut se ramener à la forme :

\(ax+b=0\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels et \(a\neq0\).

Résoudre l’équation consiste à déterminer toutes les valeurs de \(x\) qui rendent l’égalité vraie.

2. Principe d’équivalence

Une égalité reste vraie lorsque l’on effectue la même opération dans ses deux membres.

• On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

3. Méthode de résolution

Pour résoudre \(ax+b=0\) avec \(a\neq0\) :

1. Soustraire \(b\) aux deux membres : \(ax=-b\).
2. Diviser les deux membres par \(a\) : \(x=-\dfrac{b}{a}\).
3. Vérifier la solution dans l’équation initiale.

4. Exemple

Résolvons \(3x+5=14\).

1. \(3x+5-5=14-5\), donc \(3x=9\).
2. \(\dfrac{3x}{3}=\dfrac{9}{3}\), donc \(x=3\).
3. Vérification : \(3\times3+5=14\). La solution est donc \(3\).

5. Cas particuliers

Après simplification, une équation peut prendre la forme \(0x=b\).

• Si \(b\neq0\), l’équation n’a aucune solution.
• Si \(b=0\), tous les nombres réels sont solutions.

6. Erreurs fréquentes

• Modifier un seul membre de l’équation.
• Changer un signe sans effectuer une opération justifiée.
• Diviser par zéro.
• Ne pas vérifier la solution obtenue.

7. Synthèse

Résoudre une équation revient à conserver l’équilibre de l’égalité jusqu’à isoler l’inconnue. La vérification finale permet de confirmer la solution.

Exemples guidés

Exemple 1 — Équation simple

Résoudre \(2x-3=5\).

1. Ajouter \(3\) aux deux membres.
2. Diviser ensuite les deux membres par \(2\).
3. Vérifier la valeur obtenue.

Exemple 2 — Inconnue dans les deux membres

Résoudre \(5x+2=2x+11\).

1. Regrouper les termes contenant \(x\) dans un même membre.
2. Regrouper les nombres dans l’autre membre.
3. Isoler \(x\), puis vérifier.

Exemple 3 — Avec parenthèses

Résoudre \(3(x-2)+4=10\).

1. Développer le membre de gauche.
2. Réduire les termes semblables.
3. Résoudre l’équation obtenue.

Exemple 4 — Mise en équation

Un nombre augmenté de \(7\) vaut \(19\). Déterminer ce nombre.

On note le nombre \(x\), puis on traduit l’énoncé par l’équation \(x+7=19\).

Exercices progressifs

Niveau 1 — Appliquer directement

1. Résoudre \(x+6=15\).
2. Résoudre \(4x=28\).
3. Résoudre \(3x-5=16\).

Niveau 2 — Organiser les calculs

4. Résoudre \(7x+3=4x+18\).
5. Résoudre \(5-2x=17\).
6. Résoudre \(4(x+1)=20\).

Niveau 3 — Résoudre un problème

7. Le triple d’un nombre diminué de \(4\) vaut \(20\). Déterminer ce nombre.
8. Un rectangle a une largeur de \(x\) cm et une longueur de \(x+3\) cm. Son périmètre est \(26\) cm. Déterminer ses dimensions.

Consigne : pour chaque exercice, écrire les transformations successives et vérifier la solution.

Évaluation — Équations du premier degré

Durée conseillée : 15 minutes — Barème : 10 points.

Présenter les étapes de calcul et vérifier les solutions.

Exercice 1 — 4 points

1. Résoudre \(6x-7=17\). (2 points)
2. Résoudre \(3x+5=x+15\). (2 points)

Exercice 2 — 3 points

Résoudre \(2(3x-1)+4=20\).

Exercice 3 — 3 points

La somme d’un nombre et de son double est égale à \(27\). Mettre le problème en équation et déterminer ce nombre.