Continuité d'une fonction numérique — 2BAC PC / SVT
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Mohamed Lagzouli
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Ce parcours couvre le premier chapitre du programme de 2BAC Sciences Physiques et SVT. Il est conçu pour être suivi dans l'ordre : chaque notion de la Partie B utilise les résultats de la Partie A.
Comment travailler ce parcours
- Lisez une notion, puis traitez son exemple avant de passer à la suivante.
- Cherchez chaque réponse avant de l'afficher — c'est là que l'apprentissage se fait.
- Revenez au Cours essentiel dès qu'un exercice résiste.
Diagnostic : où en êtes-vous ?
Six questions sur les prérequis. Répondez d'abord, affichez ensuite. Si trois réponses ou plus vous manquent, revoyez les limites de 1BAC avant d'attaquer la Partie A.
1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 1)\).
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Un polynôme : on remplace directement.
2. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x)\).
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Forme indéterminée \(\frac{0}{0}\). On factorise :
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \quad (x \neq 1) \]Donc la limite vaut \(2\).
3. Que vaut \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x}\) ? Et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x}\) ?
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Les deux limites diffèrent : la limite en \(0\) n'existe pas.
4. Donner le domaine de définition de \(g(x) = \sqrt{x - 3}\).
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Il faut \(x - 3 \geqslant 0\), soit \(D_g = [3 ; +\infty[\).
5. Une fonction strictement croissante sur \([a;b]\) peut-elle prendre deux fois la même valeur ?
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Non. Si \(x_1 < x_2\) alors \(f(x_1) < f(x_2)\) : deux points distincts ont des images distinctes. Cette remarque sera l'argument d'unicité dans tout le chapitre.
6. Traduire : « la courbe de \(f\) se trace sans lever le crayon sur \([0;1]\) ».
Voir la réponse
\(f\) est continue sur \([0;1]\). C'est une image visuelle correcte, mais elle ne constitue pas une démonstration : en 2BAC, la continuité s'établit par la définition ou par les théorèmes d'opérations.
Objectif du chapitre. Passer de « la courbe a l'air continue » à « je démontre que \(f\) est continue, puis j'en tire une conclusion ».
Aperçu gratuit
Voici la notion centrale du chapitre et son application la plus utile. Le parcours complet détaille chaque point avec ses exemples.
Continuité en un point. Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Trois conditions sont donc réunies : \(f(a)\) existe, la limite existe, et les deux coïncident. Si l'une manque, \(f\) n'est pas continue en \(a\).
Exemple. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}\) pour \(x \neq 2\) et \(f(2) = 4\). Étudions la continuité en \(2\).
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2) \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 = f(2) \]Donc \(f\) est continue en \(2\).
Théorème des valeurs intermédiaires. Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a;b]\).
Trois questions pour tester
1. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) pour \(x \neq 3\) et \(f(3) = 5\). \(f\) est-elle continue en \(3\) ?
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Non. \(\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x) = 6\) alors que \(f(3) = 5\). La limite existe, la valeur existe, mais elles diffèrent.
2. \(f\) est continue sur \([0;3]\), \(f(0) = -2\) et \(f(3) = 7\). Que peut-on affirmer ?
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Comme \(0\) est compris entre \(-2\) et \(7\), l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([0;3]\). Sans hypothèse de monotonie, on ne peut rien dire de l'unicité.
3. Pourquoi ne peut-on pas appliquer le TVI à \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \([-1;1]\) ?
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\(f\) n'est pas définie en \(0\), donc pas continue sur \([-1;1]\). L'hypothèse du théorème n'est pas vérifiée : la conclusion tombe. D'ailleurs \(f(-1) = -1\) et \(f(1) = 1\), mais \(f\) ne s'annule jamais.
À retenir. Le TVI donne l'existence. L'unicité demande un argument supplémentaire : la monotonie stricte. C'est l'objet du corollaire, traité dans la Partie B.
Cours essentiel
Partie A — Continuité
A1. Continuité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \]Dans le cas contraire, \(f\) est discontinue en \(a\).
La définition exige trois choses : que \(a\) appartienne au domaine, que la limite existe et soit finie, et que les deux valeurs soient égales. Une discontinuité peut donc venir de trois causes distinctes.
Exemple A1. Soit \(f(x) = 3x - 1\). En \(a = 2\) :
\[ \lim_{x \to 2} (3x-1) = 5 \quad \text{et} \quad f(2) = 5 \]Donc \(f\) est continue en \(2\).
Exemple A1'. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{x-1}\) pour \(x \neq 1\) et \(g(1) = 0\). En \(a = 1\) :
\[ \lim_{x \to 1^+} g(x) = +\infty \]La limite n'est pas finie : \(g\) est discontinue en \(1\).
A2. Continuité à droite, continuité à gauche
\(f\) est continue à droite en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a) \]\(f\) est continue à gauche en \(a\) si
\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en \(a\) :
\[ \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) \]Ce critère est l'outil de référence pour les fonctions définies par morceaux : on étudie séparément chaque côté du point de raccordement.
Exemple A2. Soit
\[ f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \leqslant 1 \\ 3 - x & \text{si } x > 1 \end{cases} \]Étude en \(a = 1\) :
\[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} f(x) = 3 - 1 = 2, \qquad f(1) = 2 \]Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en \(1\).
A3. Continuité sur un intervalle
\(f\) est continue sur un intervalle ouvert \(]a;b[\) si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
\(f\) est continue sur \([a;b]\) si elle est continue sur \(]a;b[\), continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\).
Aux bornes d'un intervalle fermé, seule la continuité du côté intérieur a un sens — c'est pourquoi la définition les traite à part.
A4. Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine :
- les fonctions polynômes, sur \(\mathbb{R}\) ;
- les fonctions rationnelles, sur tout intervalle où le dénominateur ne s'annule pas ;
- \(x \mapsto \sqrt{x}\), sur \([0;+\infty[\) ;
- \(x \mapsto \sin x\) et \(x \mapsto \cos x\), sur \(\mathbb{R}\) ;
- \(x \mapsto \tan x\), sur tout intervalle ne contenant pas \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) ;
- \(x \mapsto |x|\), sur \(\mathbb{R}\).
Conséquence pratique. On ne revient presque jamais à la définition. On identifie la fonction comme usuelle, ou comme construite à partir d'usuelles par les opérations du A5.
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Ressource externe. Droits à son auteur; MathMaroc ne la vend pas et n'est pas responsable de son contenu.
A5. Opérations sur les fonctions continues
Soient \(f\) et \(g\) continues en \(a\), et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :
- \(f + g\) est continue en \(a\) ;
- \(\lambda f\) est continue en \(a\) ;
- \(f \times g\) est continue en \(a\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\) est continue en \(a\) si \(g(a) \neq 0\) ;
- \(|f|\) est continue en \(a\) ;
- \(\sqrt{f}\) est continue en \(a\) si \(f(a) \geqslant 0\) et \(f \geqslant 0\) au voisinage de \(a\).
Exemple A5. Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 3}\). Sur \(]3;+\infty[\) : le numérateur et le dénominateur sont des polynômes, donc continus ; le dénominateur ne s'annule pas. Donc \(h\) est continue sur \(]3;+\infty[\). Même argument sur \(]-\infty;3[\).
A6. Continuité de la composée
Si \(u\) est continue en \(a\) et \(v\) continue en \(u(a)\), alors \(v \circ u\) est continue en \(a\).
Si \(u\) est continue sur \(I\), \(u(I) \subset J\) et \(v\) continue sur \(J\), alors \(v \circ u\) est continue sur \(I\).
Exemple A6. Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). Posons \(u(x) = x^2 + 1\) et \(v(t) = \sqrt{t}\). \(u\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et \(u(x) \geqslant 1 > 0\) donc \(u(\mathbb{R}) \subset [1;+\infty[\) où \(v\) est continue. Donc \(f = v \circ u\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
A7. Image d'un intervalle, image d'un segment
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle.
Si \(f\) est continue sur un segment \([a;b]\), alors \(f([a;b])\) est un segment \([m;M]\), où \(m\) est le minimum et \(M\) le maximum de \(f\) sur \([a;b]\). En particulier, \(f\) est bornée et atteint ses bornes.
Attention. \(f([a;b]) = [m;M]\) — pas \([f(a);f(b)]\). L'égalité \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) n'est valable que si \(f\) est continue et croissante sur \([a;b]\).
Exemple A7. Soit \(f(x) = x^2\) sur \([-1;2]\). \(f(-1) = 1\) et \(f(2) = 4\), mais \(f([-1;2]) = [0;4]\) : le minimum \(0\) est atteint en \(x = 0\), à l'intérieur du segment. L'intervalle \([1;4]\) serait une réponse fausse.
Cas monotone. Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), l'image se lit aux bornes :
- \(f\) croissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) ;
- \(f\) décroissante sur \([a;b]\) : \(f([a;b]) = [f(b);f(a)]\) ;
- \(f\) croissante sur \([a;b[\) : \(f([a;b[) = \left[f(a); \lim_{x \to b^-} f(x)\right[\).
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Partie B — Théorèmes fondamentaux
B1. Théorème des valeurs intermédiaires
TVI. Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(c \in [a;b]\) tel que \(f(c) = k\).
Cas particulier. Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).
Exemple B1. Montrons que \(x^3 + x - 1 = 0\) admet une solution dans \([0;1]\). Posons \(f(x) = x^3 + x - 1\), continue sur \(\mathbb{R}\) comme polynôme.
\[ f(0) = -1 < 0, \qquad f(1) = 1 > 0 \]\(f\) est continue sur \([0;1]\) et \(f(0) \cdot f(1) < 0\) : d'après le TVI, il existe \(c \in ]0;1[\) tel que \(f(c) = 0\).
Rédaction attendue. Trois éléments obligatoires : la continuité (avec sa justification), l'intervalle, et le signe ou l'encadrement. Omettre la justification de continuité coûte des points.
B2. Corollaire : existence et unicité
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a;b]\).
Le TVI fournit l'existence, la monotonie stricte fournit l'unicité. Ce sont deux arguments distincts, à citer séparément.
Exemple B2. Reprenons \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0;1]\). \(f\) est dérivable et \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\). Avec l'exemple B1, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in ]0;1[\).
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B3. Encadrement par dichotomie
La dichotomie encadre la solution \(\alpha\) en divisant l'intervalle en deux à chaque étape et en conservant la moitié où le changement de signe persiste.
Exemple B3. Encadrons \(\alpha\) solution de \(x^3 + x - 1 = 0\) dans \([0;1]\), à \(0{,}25\) près.
\[ f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}5 - 1 = -0{,}375 < 0 \]Donc \(\alpha \in ]0{,}5 ; 1[\).
\[ f(0{,}75) = 0{,}421875 + 0{,}75 - 1 = 0{,}171875 > 0 \]Donc \(\alpha \in ]0{,}5 ; 0{,}75[\), d'amplitude \(0{,}25\).
B4. Fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\). Elle admet donc une fonction réciproque \(f^{-1} : J \to I\), qui est :
- continue sur \(J\) ;
- strictement monotone sur \(J\), de même sens que \(f\).
Pour tout \(x \in I\) et tout \(y \in J\) :
\[ f^{-1}(f(x)) = x, \qquad f(f^{-1}(y)) = y \] \[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]Dans un repère orthonormé, les courbes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\).
Exemple B4. Soit \(f(x) = x^2\) sur \(I = [0;+\infty[\). \(f\) est continue et strictement croissante sur \(I\), et \(f(I) = [0;+\infty[\). Donc \(f\) est une bijection de \([0;+\infty[\) sur lui-même, et
\[ f^{-1}(y) = \sqrt{y} \quad \text{pour } y \geqslant 0 \]Sur \(\mathbb{R}\) tout entier, \(f\) n'est pas injective (\(f(-2) = f(2)\)) : la restriction à \([0;+\infty[\) est indispensable.
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B5. Racine d'ordre \(n\)
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). La fonction \(x \mapsto x^n\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\), d'image \([0;+\infty[\). Sa réciproque est la racine d'ordre \(n\) :
\[ \sqrt[n]{\;} : [0;+\infty[ \;\to\; [0;+\infty[ \]Pour \(x \geqslant 0\), \(\sqrt[n]{x}\) est l'unique réel positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\) :
\[ y = \sqrt[n]{x} \iff y \geqslant 0 \text{ et } y^n = x \]Pour \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\) :
\[ \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \;(b > 0) \] \[ \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \]La fonction \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Exemple B5. Simplifions \(\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27}\) :
\[ \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{216} = 6 \]Contrôle : \(2 \times 3 = 6\).
B6. Puissances rationnelles
Pour \(a > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{N}^*\), on pose
\[ a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \]En particulier \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Pour \(a > 0\), \(b > 0\) et \(r, s \in \mathbb{Q}\) :
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}, \qquad (a^r)^s = a^{rs} \] \[ (ab)^r = a^r b^r, \qquad a^{-r} = \frac{1}{a^r} \]Exemple B6. Calculons \(8^{\frac{2}{3}}\) :
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4 \]Ou bien \(8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\) — les deux voies donnent le même résultat.
Synthèse du chapitre
- Prouver la continuité : fonctions usuelles + opérations + composition. La définition n'intervient qu'aux points de raccordement.
- Fonction par morceaux : limite à droite = limite à gauche = valeur.
- Image d'un segment : \([m;M]\), pas \([f(a);f(b)]\), sauf si monotone.
- Existence d'une solution : TVI, avec continuité justifiée.
- Unicité : monotonie stricte, argument séparé.
- Réciproque : continue, strictement monotone de même sens, courbes symétriques par rapport à \(y = x\).
Exemples guidés
Cinq situations rédigées pas à pas. Cherchez chaque étape avant de l'afficher.
Exemple 1 — Continuité d'une fonction par morceaux
Soit
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\ m & \text{si } x = 2 \end{cases} \]Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(2\).
Voir la réponse
Étape 1 — Calculer la limite. Pour \(x \neq 2\) :
\[ \frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \] \[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \]Étape 2 — Appliquer la définition. \(f\) continue en \(2\) équivaut à \(\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)\), donc \(4 = m\).
Conclusion. \(m = 4\).
Exemple 2 — Raccordement à droite et à gauche
Soit
\[ g(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ ax + b & \text{si } x \geqslant 1 \end{cases} \]On sait que \(g\) est continue en \(1\) et que \(g(3) = 8\). Déterminer \(a\) et \(b\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité en 1.
\[ \lim_{x \to 1^-} g(x) = 1 + 1 = 2, \qquad \lim_{x \to 1^+} g(x) = a + b = g(1) \]La continuité impose \(a + b = 2\).
Étape 2 — Utiliser \(g(3) = 8\). Comme \(3 \geqslant 1\) :
\[ 3a + b = 8 \]Étape 3 — Résoudre. En soustrayant : \(2a = 6\), donc \(a = 3\) et \(b = -1\).
Vérification. \(a + b = 2\) ✓ et \(3(3) - 1 = 8\) ✓
Exemple 3 — Image d'un intervalle
Soit \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \([0;3]\). Déterminer \(f([0;3])\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est un polynôme, donc continue sur \([0;3]\). Son image est un segment \([m;M]\).
Étape 2 — Variations. \(f'(x) = 2x - 4\), nulle en \(x = 2\), négative sur \([0;2[\), positive sur \(]2;3]\). Donc \(f\) décroît puis croît : le minimum est atteint en \(2\).
\[ f(2) = 4 - 8 + 1 = -3 \]Étape 3 — Comparer les extrémités.
\[ f(0) = 1, \qquad f(3) = 9 - 12 + 1 = -2 \]Le maximum est \(\max(1; -2) = 1\).
Conclusion. \(f([0;3]) = [-3 ; 1]\).
Piège évité. Répondre \([f(0);f(3)] = [-2;1]\) serait faux : \(f\) n'est pas monotone sur \([0;3]\), et le minimum \(-3\) est intérieur.
Exemple 4 — Existence et unicité d'une solution
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 5\). Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\mathbb{R}\), puis l'encadrer entre deux entiers consécutifs.
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
Étape 2 — Monotonie stricte.
\[ f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0 \quad \text{pour tout } x \]Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Étape 3 — Limites aux bornes.
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \]Donc \(f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}\), qui contient \(0\).
Étape 4 — Conclure. \(f\) est continue et strictement croissante de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) : elle réalise une bijection. L'équation \(f(x) = 0\) admet donc une unique solution \(\alpha\).
Étape 5 — Encadrer.
\[ f(1) = 1 + 3 - 5 = -1 < 0, \qquad f(2) = 8 + 6 - 5 = 9 > 0 \]Donc \(1 < \alpha < 2\).
Exemple 5 — Fonction réciproque explicite
Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\) définie sur \(I = ]1;+\infty[\). Montrer que \(f\) est une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer, puis expliciter \(f^{-1}\).
Voir la réponse
Étape 1 — Continuité. \(f\) est rationnelle et son dénominateur ne s'annule pas sur \(]1;+\infty[\) : \(f\) est continue sur \(I\).
Étape 2 — Monotonie.
\[ f'(x) = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \]Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Étape 3 — Image.
\[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 2 \]\(f\) décroissante et continue sur \(]1;+\infty[\) donne \(J = f(I) = ]2;+\infty[\).
Étape 4 — Bijection. Continue et strictement monotone : \(f\) est une bijection de \(]1;+\infty[\) sur \(]2;+\infty[\).
Étape 5 — Expliciter. Résolvons \(y = \dfrac{2x+1}{x-1}\) :
\[ y(x-1) = 2x+1 \;\Longrightarrow\; yx - y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; x(y-2) = y+1 \] \[ x = \frac{y+1}{y-2} \]Donc \(f^{-1}(y) = \dfrac{y+1}{y-2}\) pour \(y \in ]2;+\infty[\).
Vérification. \(f(3) = \frac{7}{2}\) et \(f^{-1}\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{9/2}{3/2} = 3\) ✓
Méthodes mobilisées
- Exemple 1 — Prolongement par continuité : calculer la limite, l'imposer comme valeur.
- Exemple 2 — Raccordement : deux limites latérales, puis exploitation d'une condition supplémentaire. Système à deux inconnues.
- Exemple 3 — Image d'un segment : justifier la continuité, dresser le tableau de variations, comparer toutes les valeurs candidates. Ne jamais se contenter des extrémités.
- Exemple 4 — Existence + unicité : TVI puis monotonie stricte, deux arguments distincts. L'encadrement se fait par calcul de signes.
- Exemple 5 — Réciproque : continuité, monotonie, image, puis résolution algébrique de \(y = f(x)\) en \(x\).
Trois erreurs à ne pas reproduire
- Écrire \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) sans avoir établi la monotonie.
- Conclure à l'unicité à partir du seul TVI.
- Oublier de justifier la continuité avant d'invoquer le TVI — c'est l'hypothèse du théorème.
Exercices interactifs
Trois niveaux. Traitez chaque exercice sur papier avant d'afficher la réponse.
Niveau 1 — Application directe
Exercice 1. Étudier la continuité en \(0\) de
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0, \; x > -1 \\ \dfrac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases} \]Voir la réponse
Multiplions par la quantité conjuguée :
\[ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{(x+1)-1}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} \] \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} = f(0) \]Donc \(f\) est continue en \(0\).
Exercice 2. Justifier que \(h(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x^2 + 1}\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Voir la réponse
\(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\). \(x \mapsto x^2+1\) est un polynôme, donc continue, et ne s'annule jamais (\(x^2+1 \geqslant 1\)). Le quotient d'une fonction continue par une fonction continue non nulle est continu : \(h\) est continue sur \([0;+\infty[\).
Exercice 3. Calculer \(\sqrt[4]{16}\), \(27^{\frac{1}{3}}\) et \(32^{\frac{2}{5}}\).
Voir la réponse
Niveau 2 — Raisonnement
Exercice 4. Soit \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).
- a) Montrer que \(f(x) = 0\) admet une solution dans \([0;1]\).
- b) Cette solution est-elle unique dans \(\mathbb{R}\) ?
Voir la réponse
a) \(f\) est un polynôme, donc continue sur \([0;1]\).
\[ f(0) = 1 > 0, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0 \]\(f(0) \cdot f(1) < 0\) : d'après le TVI, \(f\) s'annule au moins une fois dans \(]0;1[\).
b) Non. \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)\) s'annule en \(-1\) et \(1\) : \(f\) n'est pas monotone sur \(\mathbb{R}\).
\[ f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0, \qquad f(0) = 1 > 0, \qquad f(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0 \]Trois changements de signe : l'équation admet trois solutions réelles.
Exercice 5. Déterminer \(f([-2;1])\) pour \(f(x) = x^2 + 2x\).
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\(f\) est un polynôme, donc continue : \(f([-2;1])\) est un segment.
\(f'(x) = 2x + 2\), nulle en \(x = -1\), négative avant, positive après.
\[ f(-1) = 1 - 2 = -1 \quad (\text{minimum}) \] \[ f(-2) = 4 - 4 = 0, \qquad f(1) = 1 + 2 = 3 \]Maximum \(= 3\). Donc \(f([-2;1]) = [-1;3]\).
Exercice 6. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que
\[ f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x \leqslant 0 \\ \dfrac{\sin(bx)}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases} \]soit continue en \(0\), avec \(b \neq 0\).
Voir la réponse
À gauche : \(\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 = f(0)\).
À droite, en utilisant \(\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\) :
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(bx)}{x} = \lim_{x \to 0^+} b \cdot \frac{\sin(bx)}{bx} = b \]La continuité impose \(b = 2\). La valeur de \(a\) est quelconque : elle n'intervient pas dans la limite à gauche, qui vaut \(a \times 0 + 2 = 2\) indépendamment de \(a\).
Niveau 3 — Approfondissement
Exercice 7. Soit \(f\) continue sur \([0;1]\) telle que \(f(0) = 0\) et \(f(1) = 1\). Montrer qu'il existe \(c \in [0;1]\) tel que \(f(c) = 1 - c\).
Voir la réponse
Posons \(g(x) = f(x) - 1 + x\), continue sur \([0;1]\) comme somme de fonctions continues.
\[ g(0) = 0 - 1 + 0 = -1 < 0 \] \[ g(1) = 1 - 1 + 1 = 1 > 0 \]D'après le TVI, il existe \(c \in ]0;1[\) tel que \(g(c) = 0\), c'est-à-dire \(f(c) = 1 - c\).
Méthode à retenir. Pour une équation de la forme \(f(x) = \varphi(x)\), on introduit \(g = f - \varphi\) et on applique le TVI à \(g\).
Exercice 8. Soit \(f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \([0;1]\).
- a) Montrer que \(f\) est une bijection de \([0;1]\) sur un intervalle \(J\).
- b) Déterminer \(f^{-1}(y)\) pour \(y \in J\).
Voir la réponse
a) \(f\) est rationnelle et \(x^2+1\) ne s'annule pas : \(f\) est continue sur \([0;1]\).
\[ f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} \]Sur \([0;1[\), \(1 - x^2 > 0\) donc \(f' > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\).
\[ f(0) = 0, \qquad f(1) = \tfrac{1}{2} \]Donc \(J = \left[0 ; \tfrac{1}{2}\right]\) et \(f\) est une bijection de \([0;1]\) sur \(J\).
b) Résolvons \(y = \dfrac{x}{x^2+1}\) :
\[ yx^2 - x + y = 0 \]Pour \(y \neq 0\), discriminant \(\Delta = 1 - 4y^2 \geqslant 0\) car \(y \leqslant \tfrac{1}{2}\). Les racines sont
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4y^2}}{2y} \]Seule la racine avec le signe \(-\) appartient à \([0;1]\) :
\[ f^{-1}(y) = \frac{1 - \sqrt{1-4y^2}}{2y} \quad (0 < y \leqslant \tfrac{1}{2}), \qquad f^{-1}(0) = 0 \]Contrôle. \(y = \tfrac{1}{2}\) donne \(f^{-1}\!\left(\tfrac12\right) = \frac{1-0}{1} = 1\) ✓
Barème indicatif et points de méthode
| Exercice | Méthode clé | Points |
|---|---|---|
| 1 | Quantité conjuguée puis définition de la continuité | 2 |
| 2 | Quotient de fonctions continues, dénominateur non nul | 2 |
| 3 | Racines d'ordre \(n\) et puissances rationnelles | 2 |
| 4 | TVI ; contre-exemple à l'unicité par étude du signe de \(f'\) | 3 |
| 5 | Image d'un segment via le tableau de variations | 3 |
| 6 | Limites latérales ; \(\lim \frac{\sin t}{t} = 1\) | 3 |
| 7 | Fonction auxiliaire \(g = f - \varphi\) puis TVI | 2 |
| 8 | Bijection, image, inversion algébrique, sélection de la racine | 3 |
Remédiation ciblée
- Exercices 1, 2 ou 3 manqués → reprendre le Cours essentiel, sections A1 à A5, puis les exemples guidés 1 et 2.
- Exercice 4 ou 5 manqué → revoir A7 et B1, puis l'exemple guidé 3. L'erreur est presque toujours \(f([a;b]) = [f(a);f(b)]\) appliqué sans monotonie.
- Exercice 6 manqué → revoir A2 et les limites trigonométriques de 1BAC.
- Exercices 7 ou 8 manqués → revoir B2 et B4, puis l'exemple guidé 5.
Réponses courtes
- 1. Continue en \(0\).
- 2. Continue sur \([0;+\infty[\).
- 3. \(2\) ; \(3\) ; \(4\).
- 4. a) TVI sur \([0;1]\). b) Non, trois solutions.
- 5. \([-1;3]\).
- 6. \(b = 2\), \(a\) quelconque.
- 7. Poser \(g(x) = f(x) - 1 + x\).
- 8. \(J = \left[0;\tfrac12\right]\) ; \(f^{-1}(y) = \dfrac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2y}\).
Mode examen
Épreuve de \(1\) heure, \(20\) points. Aucun document. Traitez les trois exercices dans l'ordre de votre choix, en rédigeant complètement.
Exercice I — Continuité et raccordement (6 points)
Soit
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - x - 2}{x - 2} & \text{si } x > 2 \\ ax + 1 & \text{si } x \leqslant 2 \end{cases} \]- 1. Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x)\). (2 pts)
- 2. Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(2\). (2 pts)
- 3. Avec cette valeur de \(a\), justifier que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
Exercice II — TVI et dichotomie (7 points)
Soit \(g(x) = x^3 + x^2 - 2\).
- 1. Justifier que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1 pt)
- 2. Calculer \(g(0)\) et \(g(2)\), puis montrer que \(g(x) = 0\) admet une solution dans \([0;2]\). (2 pts)
- 3. Étudier le signe de \(g'\) sur \([0;2]\) et en déduire l'unicité de cette solution \(\alpha\). (2 pts)
- 4. Encadrer \(\alpha\) à \(0{,}5\) près par dichotomie. (2 pts)
Exercice III — Bijection et réciproque (7 points)
Soit \(h(x) = \sqrt{2x + 3}\) sur \(I = \left[-\tfrac{3}{2} ; +\infty\right[\).
- 1. Justifier que \(h\) est continue sur \(I\). (2 pts)
- 2. Étudier la monotonie de \(h\) sur \(I\). (2 pts)
- 3. Déterminer \(J = h(I)\). (1 pt)
- 4. Montrer que \(h\) est une bijection de \(I\) sur \(J\) et expliciter \(h^{-1}\). (2 pts)
Conseil de gestion du temps. Environ \(15\) minutes pour l'exercice I, \(20\) pour le II, \(20\) pour le III, et \(5\) minutes de relecture. Sur chaque question invoquant un théorème, vérifiez que vous avez bien écrit ses hypothèses.
Corrigé du mode examen
Exercice I (6 points)
1. Pour \(x > 2\), factorisons le numérateur. \(x^2 - x - 2\) a pour racines \(2\) et \(-1\), donc
\[ \frac{x^2-x-2}{x-2} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x+1 \] \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3 \]2. À gauche, \(\displaystyle\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2a + 1 = f(2)\). La continuité en \(2\) impose
\[ 2a + 1 = 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \]3. Avec \(a = 1\) : sur \(]-\infty;2]\), \(f(x) = x+1\) est un polynôme donc continue ; sur \(]2;+\infty[\), \(f(x) = x+1\) également. En \(2\), la continuité est établie à la question 2. Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) — et vaut en fait \(x+1\) partout.
Exercice II (7 points)
1. \(g\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
2.
\[ g(0) = -2 < 0, \qquad g(2) = 8 + 4 - 2 = 10 > 0 \]\(g\) est continue sur \([0;2]\) et \(g(0) \cdot g(2) < 0\) : d'après le TVI, \(g\) s'annule au moins une fois dans \(]0;2[\).
3.
\[ g'(x) = 3x^2 + 2x = x(3x+2) \]Sur \(]0;2]\), \(x > 0\) et \(3x + 2 > 0\) donc \(g' > 0\) : \(g\) est strictement croissante sur \([0;2]\). La solution \(\alpha\) est donc unique.
4. Dichotomie :
\[ g(1) = 1 + 1 - 2 = 0 \]La solution est atteinte exactement : \(\alpha = 1\). L'encadrement demandé est donc immédiat, \(\alpha \in [1;1]\).
Remarque. Un candidat qui poursuit la dichotomie sans remarquer \(g(1) = 0\) n'est pas pénalisé s'il obtient un encadrement correct.
Exercice III (7 points)
1. Posons \(u(x) = 2x+3\), polynôme donc continu sur \(I\), et \(v(t) = \sqrt{t}\), continue sur \([0;+\infty[\). Pour \(x \geqslant -\tfrac{3}{2}\), \(u(x) \geqslant 0\), donc \(u(I) \subset [0;+\infty[\). Par composition, \(h = v \circ u\) est continue sur \(I\).
2. \(u\) est strictement croissante et \(v\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\) : la composée \(h\) est strictement croissante sur \(I\).
Ou par le calcul, sur \(\left]-\tfrac32;+\infty\right[\) :
\[ h'(x) = \frac{2}{2\sqrt{2x+3}} = \frac{1}{\sqrt{2x+3}} > 0 \]3.
\[ h\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} h(x) = +\infty \]\(h\) continue et strictement croissante sur \(I\) donne \(J = h(I) = [0;+\infty[\).
4. Continue et strictement monotone : \(h\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\). Pour \(y \geqslant 0\) :
\[ y = \sqrt{2x+3} \;\Longrightarrow\; y^2 = 2x+3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{y^2-3}{2} \] \[ h^{-1}(y) = \frac{y^2 - 3}{2} \quad \text{pour } y \in [0;+\infty[ \]Vérification. \(h(3) = \sqrt{9} = 3\) et \(h^{-1}(3) = \frac{9-3}{2} = 3\) ✓
Grille de lecture du résultat
- 16 à 20 — Chapitre maîtrisé. Passez au chapitre suivant.
- 11 à 15 — Bases acquises. Reprenez les exercices de niveau 3.
- 6 à 10 — Revoyez le Cours essentiel Partie B, puis les exemples guidés 4 et 5.
- 0 à 5 — Reprenez le chapitre depuis la Partie A, et le diagnostic de la section Accueil.
Erreurs les plus fréquentes
- Exercice I.3 : oublier de traiter les deux morceaux et le point de raccordement.
- Exercice II.3 : conclure à l'unicité sans étudier le signe de \(g'\).
- Exercice III.1 : invoquer la composition sans vérifier \(u(I) \subset [0;+\infty[\).
- Exercice III.4 : donner \(h^{-1}\) sans préciser son ensemble de définition.